早朝から開いている銭湯は新宿にはなさそうです。（私がネットで調べたかぎり）
代わりに、
- カプセルホテルのお風呂をお風呂だけの利用
- ネットカフェのシャワー
が新宿駅付近にあります。
プラン・料金一覧｜新宿駅前店｜【公式】豪華カプセルホテル 安心お宿プレミア
この安心お宿というカプセルホテルなら1580円で銭湯のようなお風呂を2時間利用できます。JR新宿駅東南口から徒歩90秒という近さです（行き方）。
他に、新宿ならネットカフェのシャワーかサウナやスパがあります。
サウナは高く感じますが、ネットカフェでもシャワーの別料金などを含めると銭湯ほど安くなりません。
新宿でシャワーのあるネットカフェ
bagus 新宿西口店
都営大江戸線の新宿西口駅の近くにあるネットカフェです。
シャワー料金は別です。金曜以外の平日と休日と金曜では料金が少し変わります。
例えば、金曜日に非会員が1時間標準料金でシャワーを利用した場合、
145+30+{(60+10)×3}+580=965円（税抜き）
moopa 新宿西口店
バスを降りるロータリーから近いネットカフェです。インターネットカフェ - Moopa! 新宿本店によると、1時間パック＋シャワー=600円（税抜き）
タオルなどもセットということですが、ドライヤーの有無は不明です。
マンボー新宿南口店
シャワーの追加料金や備品（タオル、ドライヤーなど）不明。
ポパイ新宿店
新宿東口のアルタの裏まで移動します。初めて新宿に行く人は、西口から東口に行く時に迷うかもしれません。
標準料金1時間だとすると、150+(75×3)=375円
私が前使った時は、タオルは持参か販売でした。
他の新宿にあるシャワー付きネットカフェ
新宿のサウナ・スパ
夜行バスで配られる割引券か優待券かを使えば安くなるかもしれません。
女性専用のスパもあります。
スパ＆サウナ（日帰りスパ）料金表｜女性専用宿泊施設＆リ・ラックスパ
注意点
東京都では都外の会員証が使えない
東京には見たこともないネットカフェが多いです。非会員のままでも使えるところがありますが、少し料金が高くなります。
東京都の条例の関係で、全国展開しているネットカフェでも東京以外で作った会員証は使えません。ネットカフェを使うのに身分証明書が必要な場合もあるかもしれません。
ちなみに、会員証を作るのにも料金が発生することがあります。
タオル、ドライヤーはあるか
タオルが無料で使えないところもありますので、乾きやすい旅行用のタオルを持っていくと便利です。
到着場所
夜行バスが到着するのは新宿西口が多いと思います。京王百貨店や小田急線の前のロータリーが多いと思います。
バスの中で新宿のサウナの割引券を貰えることがありますが、サウナは1000円くらいします。
時間をつぶす
新宿西口付近のマクドナルドがちょうど良いです。席が狭い気がします。もう少し遅い時間の７時なら、新宿サザンテラス店 | スターバックスがおすすめです。私が行った時には８時前でしたが、たくさん席が空いていました。
